Упр.675 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 675. Докажите, что прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.

Подробный ответ

1) В прямоугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны параллельны и равны, а все углы прямые:

$$AB \parallel CD,\quad BC \parallel AD,\quad \angle A=90^\circ,$$

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

2) Рассмотрим четырёхугольник $$ABFE$$. Так как $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$, то

$$AE=\frac12 AD,\quad BF=\frac12 BC.$$

Но в прямоугольнике $$AD=BC$$, значит

$$AE=BF.$$

Кроме того, $$AE \parallel BF$$ и $$\angle A=90^\circ$$. Следовательно, $$ABFE$$ — прямоугольник. Тогда его противоположные стороны перпендикулярны:

$$FE \perp AD,\quad FE \perp BC.$$

Значит, прямая $$EF$$ является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$: она проходит через середины противоположных сторон $$AD$$ и $$BC$$ и перпендикулярна им.

3) Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$AMND$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$, то

$$AM=\frac12 AB,\quad DN=\frac12 CD.$$

Поскольку $$AB=CD$$, получаем

$$AM=DN.$$

Также $$AM \parallel DN$$ и $$\angle A=90^\circ$$, значит $$AMND$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$MN \perp AB,\quad MN \perp CD.$$

Итак, прямая $$MN$$ также является осью симметрии прямоугольника $$ABCD$$.

Таким образом, прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.