Упр.674 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 674. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$.

В ромбе диагонали обладают свойствами:

$$AO=CO,\quad BO=DO,\quad AC\perp BD.$$

Значит, точка $$O$$ — середина обеих диагоналей, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Докажем, что прямая $$AC$$ является осью симметрии ромба. При отражении относительно прямой $$AC$$ точки $$A$$ и $$C$$ остаются на месте, а точки $$B$$ и $$D$$, лежащие по разные стороны от $$AC$$ на равных расстояниях от неё, переходят друг в друга. Следовательно, отражение относительно $$AC$$ переводит ромб сам в себя.

Аналогично, при отражении относительно прямой $$BD$$ точки $$B$$ и $$D$$ остаются на месте, а точки $$A$$ и $$C$$ переходят друг в друга. Значит, и прямая $$BD$$ является осью симметрии ромба.

Итак, прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.