Упр.671 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 671. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.

Обозначим середины оснований трапеции $$AD$$ и $$BC$$ точками $$E$$ и $$F$$ соответственно. Проведём прямую $$EF$$.

Так как трапеция $$ABCD$$ равнобокая, то её углы при каждом основании равны:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Точка $$E$$ — середина основания $$AD$$, а в равнобокой трапеции прямая, соединяющая вершину с серединой основания, является высотой и медианой симметрии, поэтому $$ME\perp AD$$.

Аналогично, в треугольнике $$BMC$$ точка $$F$$ — середина основания $$BC$$, значит $$MF\perp BC$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то прямая, перпендикулярная одной из этих параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Следовательно,

$$FE\perp AD,\qquad FE\perp BC.$$

Значит, прямая $$FE$$ проходит через середины оснований равнобокой трапеции и является осью её симметрии: при отражении относительно $$FE$$ точки $$A$$ и $$D$$, а также $$B$$ и $$C$$ меняются местами.

Ответ

Прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.