Упр.67 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Стороны треугольника равны $$16\ \text{см}$$, $$18\ \text{см}$$ и $$26\ \text{см}$$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Пусть $$AC=26$$ см — большая сторона треугольника, а $$BM$$ — медиана, проведённая к стороне $$AC$$. Тогда точка $$M$$ — середина $$AC$$, значит

$$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 26=13.$$

Найдём $$\cos \angle A$$ из теоремы косинусов для треугольника $$ABC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A,$$

$$18^2=16^2+26^2-2\cdot 16\cdot 26\cdot \cos \angle A,$$

$$324=256+676-832\cos \angle A,$$

$$832\cos \angle A=608,$$

$$\cos \angle A=\frac{608}{832}=\frac{19}{26}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$ и снова применим теорему косинусов:

$$BM^2=AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot \cos \angle A,$$

$$BM^2=16^2+13^2-2\cdot 16\cdot 13\cdot \frac{19}{26},$$

$$BM^2=256+169-304=121.$$

Следовательно,

$$BM=\sqrt{121}=11.$$

Ответ

$$11\text{ см}$$