Упр.668 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 668. Окружности с центрами O1 и O2, имеют две общие точки (рис. 180). С помощью только циркуля постройте окружности, симметричные данным относительно прямой АВ.

Пусть окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Прямая $$AB$$ является осью симметрии для этих точек, поэтому при отражении относительно $$AB$$ каждая из них переходит в себя, а центры окружностей переходят в симметричные им точки.

Обозначим точку $$O$$ — пересечение прямых $$O_1O_2$$ и $$AB$$. Тогда отражение относительно прямой $$AB$$ переводит луч $$O_1O$$ в противоположный ему луч, а точку $$O_1$$ — в точку $$O_1’$$ так, что

$$OO_1’=OO_1.$$

Аналогично строится точка $$O_2’$$ на луче, симметричном лучу $$O_2O$$, причём

$$OO_2’=OO_2.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на оси симметрии, то расстояния от них до симметричных центров сохраняются. Значит, окружность с центром $$O_1’$$ должна иметь тот же радиус, что и исходная окружность с центром $$O_1$$, то есть радиус $$O_1A$$. Аналогично окружность с центром $$O_2’$$ имеет радиус $$O_2A$$.

Следовательно, искомые окружности строятся так:

1. отметить точку $$O$$ на пересечении прямых $$O_1O_2$$ и $$AB$$;
2. на луче $$O_1O$$ отложить отрезок $$OO_1’=OO_1$$;
3. на луче $$O_2O$$ отложить отрезок $$OO_2’=OO_2$$;
4. из точки $$O_1’$$ провести окружность радиуса $$O_1A$$;
5. из точки $$O_2’$$ провести окружность радиуса $$O_2A$$.

Полученные окружности будут симметричны данным относительно прямой $$AB$$.

Ответ

Построить центры $$O_1’$$ и $$O_2’$$, симметричные точкам $$O_1$$ и $$O_2$$ относительно прямой $$AB$$, и провести из них окружности радиусов $$O_1A$$ и $$O_2A$$.