Упр.661 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 661. Начертите треугольник. Постройте треугольник, симметричный ему относительно прямой, содержащей одну из его средних линий.

Подробный ответ

Пусть $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Проведём через вершины $$A$$, $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры к прямой $$EF$$ и обозначим основания этих перпендикуляров через $$M$$, $$N$$ и $$K$$ соответственно:

$$AM \perp EF,\quad BN \perp EF,\quad CK \perp EF.$$

На продолжениях этих перпендикуляров отложим отрезки, равные соответствующим расстояниям до оси симметрии:

$$MA’ = AM,\quad NB’ = BN,\quad KC’ = CK.$$

Тогда точки $$A’$$, $$B’$$ и $$C’$$ будут симметричны точкам $$A$$, $$B$$ и $$C$$ относительно прямой $$EF$$. Соединим точки $$A’B’C’$$. Получим треугольник, симметричный треугольнику $$ABC$$ относительно прямой, содержащей среднюю линию $$EF$$.

Так как при осевой симметрии сохраняются расстояния и углы, то построенный треугольник $$A’B’C’$$ равен исходному треугольнику $$ABC$$.