Упр.66 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 66. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона — 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

Подробный ответ

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC=5$$ см, а боковые стороны через $$AB=BC=20$$ см. Пусть $$D$$ — точка пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{5}=4,$$

значит, $$BD=4CD$$. Тогда

$$BC=BD+CD=4CD+CD=5CD,$$

откуда

$$5CD=20,\quad CD=4.$$

Теперь найдём угол $$\angle C$$ из треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos\angle C,$$

$$20^2=5^2+20^2-2\cdot 5\cdot 20\cos\angle C,$$

$$400=25+400-200\cos\angle C,$$

$$200\cos\angle C=25,\quad \cos\angle C=\frac18.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. По теореме косинусов: