Упр.659 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 659. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точку касания окружности с боковой стороной $$AB$$ через $$E$$, с верхним основанием $$BC$$ — через $$F$$, с правой боковой стороной $$CD$$ — через $$G$$, с нижним основанием $$AD$$ — через $$H$$.

Так как в трапеции $$ABCD$$ вписана окружность, то суммы длин касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$AE=AH,\quad BE=BF,\quad CG=CF,\quad DG=DH.$$

По условию $$AE=25$$ см, $$BE=4$$ см, значит

$$AH=25,\quad BF=4.$$

Трапеция прямоугольная, поэтому $$\angle C=\angle D=90^\circ$$. Тогда центр вписанной окружности $$O$$ лежит на биссектрисах этих углов, а радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам трапеции. Следовательно, расстояние от центра до оснований равно радиусу $$r$$, и

$$CD=CG+GD=r+r=2r.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Поскольку $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$AO$$ и $$BO$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$, значит

$$\angle BAO=\frac12\angle A,\quad \angle ABO=\frac12\angle B.$$

В трапеции $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, поэтому

$$\angle BAO+\angle ABO=\frac12(\angle A+\angle B)=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$AOB$$ прямоугольный, и для него верно:

$$OE^2=AE\cdot BE.$$

Тогда

$$OE^2=25\cdot 4=100,$$

откуда

$$r=OE=10.$$

Теперь найдём стороны трапеции: