Упр.658 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 658. Докажите, что четырёхугольник с вершинами А(-3; -4), В(0; 3), С(7; 6) и D(4; -1) является ромбом, и найдите его площадь.

Найдём координаты векторов $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$:

$$\overrightarrow{AB}=(0-(-3),\,3-(-4))=(3,\,7),$$

$$\overrightarrow{DC}=(7-4,\,6-(-1))=(3,\,7).$$

Следовательно, $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$, значит, $$AB \parallel CD$$ и $$AB=CD$$.

Теперь найдём векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$:

$$\overrightarrow{AC}=(7-(-3),\,6-(-4))=(10,\,10),$$

$$\overrightarrow{BD}=(4-0,\,-1-3)=(4,\,-4).$$

Их скалярное произведение равно:

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=10\cdot 4+10\cdot(-4)=0.$$

Значит, $$AC \perp BD$$.

Так как в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, а диагонали перпендикулярны, то $$ABCD$$ — ромб.

Найдём длины диагоналей:

$$AC=\sqrt{10^2+10^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2},$$

$$BD=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=40.$$

Ответ

$$40$$