Упр.657 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 657. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если периметр данного треугольника равен 18 см?

Подробный ответ

Пусть дан треугольник $$ABC$$, а через его вершины проведены прямые, параллельные противоположным сторонам, так что получился треугольник $$EFN$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABFC$$. В нём $$AB \parallel FC$$ и $$AC \parallel BF$$, значит, $$ABFC$$ — параллелограмм. Тогда $$BF=AC$$.

Аналогично, четырёхугольник $$AEBC$$ — параллелограмм, поэтому $$EB=AC$$.

По тем же причинам получаем:

$$AE=BC,\qquad FC=AB,\qquad EN=BC,\qquad FN=AB.$$

Следовательно, стороны треугольника $$EFN$$ равны:

$$EF=EB+BF=AC+AC=2AC,$$

$$FN=2AB,$$

$$EN=2BC.$$

Тогда периметр треугольника $$EFN$$ равен

$$ P_{EFN}=EF+FN+EN=2AC+2AB+2BC=2(AB+BC+AC)=2P_{ABC}. $$