Упр.656 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 656. В каком месте надо построить мост MN через реку, разделяющую два населённых пункта A и В (рис. 162), чтобы путь AMNB был кратчайшим (берега реки считаем параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)?

Пусть точку $$A$$ отразили относительно верхнего берега реки в точку $$A_1$$ так, что $$AA_1 \perp$$ берегам реки и $$AA_1 = MN$$. Тогда четырёхугольник $$AMNA_1$$ — параллелограмм, значит

$$A_1N = AM,$$

а также $$A_1N \parallel AM$$.

Тогда длина пути

$$AMNB = AM + MN + NB = A_1N + MN + NB = MN + A_1B.$$

Так как $$MN$$ — постоянная величина, то путь $$AMNB$$ будет кратчайшим тогда и только тогда, когда отрезок $$A_1B$$ проходит через точки $$A_1, N, B$$, то есть точки $$A_1, N, B$$ лежат на одной прямой.

Следовательно, мост нужно построить в точке $$N$$ пересечения прямой $$A_1B$$ с берегом реки.

Ответ

Мост надо построить в точке $$N$$, где прямая $$A_1B$$ пересекает берег реки; при этом $$A_1N = AM$$ и $$A_1N \parallel AM$$.