Упр.65 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 65. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.

Обозначим основание биссектрисы через $$D$$. Тогда $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, а стороны треугольника равны $$AB=12$$ см, $$BC=15$$ см, $$AC=18$$ см.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.$$

Значит, $$AD=4x$$, $$CD=5x$$. Так как $$AC=AD+CD=18$$, получаем:

$$4x+5x=18,$$

$$9x=18,$$

$$x=2.$$

Тогда

$$AD=8,$$

$$CD=10.$$

Найдём угол $$A$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A,$$

$$15^2=12^2+18^2-2\cdot 12\cdot 18\cdot \cos \angle A,$$

$$225=144+324-432\cos \angle A,$$

$$432\cos \angle A=243,$$

$$\cos \angle A=\frac{9}{16}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$ и снова применим теорему косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \angle A,$$

$$BD^2=12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot \frac{9}{16},$$

$$BD^2=144+64-108=100.$$

Следовательно,

$$BD=10\text{ см}.$$

Ответ

$$10\text{ см}$$