Упр.648 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 648. Точки A(1; 3), В(2; 6), С(-3; 1) являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является точка O1(-2; —4). Найдите образы точек А, В, С и D при таком параллельном переносе.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$. Тогда $$O$$ — середина отрезка $$AC$$.

Найдём координаты точки $$O$$:

$$ x_O=\frac{1+(-3)}{2}=-1,\qquad y_O=\frac{3+1}{2}=2. $$

При параллельном переносе точка $$O$$ переходит в точку $$O_1(-2;\,-4)$$, значит вектор переноса равен

$$ \vec{v}=( -2-(-1),\,-4-2)=(-1,\,-6). $$

Теперь найдём образы вершин, прибавляя к координатам каждой точки этот вектор:

$$ A_1(1-1;\,3-6)=(0;\,-3), $$

$$ B_1(2-1;\,6-6)=(1;\,0), $$

$$ C_1(-3-1;\,1-6)=(-4;\,-5). $$

Координаты точки $$D$$ найдём из свойства параллелограмма: диагонали делятся пополам, значит $$O$$ — середина и отрезка $$BD$$. Тогда

$$ x_D=2x_O-x_B=2\cdot(-1)-2=-4,\qquad y_D=2y_O-y_B=2\cdot2-6=-2. $$