Упр.644 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 644. Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является окружность.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$ и его центр $$O$$ — точку пересечения диагоналей. Построим окружность с центром в $$O$$ и радиусом, равным половине диагонали прямоугольника. Тогда эта окружность проходит через все вершины прямоугольника.

Теперь каждой точке $$X$$, лежащей на стороне прямоугольника, сопоставим точку $$X_1$$ на луче $$OX$$ так, чтобы выполнялось $$OX_1=OA$$. Иначе говоря, точку $$X$$ переводим в точку пересечения луча $$OX$$ с построенной окружностью.

При таком преобразовании:

• вершины $$A, B, C, D$$ переходят в точки окружности;
• каждая точка стороны прямоугольника переходит в соответствующую точку окружности;
• вся фигура, состоящая из всех точек сторон прямоугольника, отображается на окружность.

Следовательно, искомое преобразование — центральное проектирование из точки $$O$$ на окружность (или, что то же самое, отображение каждой точки $$X$$ в точку $$X_1$$ на луче $$OX$$, лежащую на окружности).

Ответ

Например, можно взять преобразование, при котором каждой точке $$X$$ сторон прямоугольника ставится в соответствие точка $$X_1$$ на луче $$OX$$, где $$O$$ — центр прямоугольника, а $$OX_1=OA$$. Тогда образом всей фигуры является окружность с центром в $$O$$ и радиусом $$OA$$.