Упр.64 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 64. Докажите, что против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Тогда $$AB=CD$$, $$BC=AD$$, а также $$\angle B=180^\circ-\angle A$$, поэтому $$\cos\angle B=-\cos\angle A$$.

По теореме косинусов для треугольника $$ABD$$ получаем:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos\angle A.$$

Так как $$AD=BC$$, то

$$BD^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle A.$$

Для треугольника $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle B.$$

С учётом $$\cos\angle B=-\cos\angle A$$ имеем:

$$AC^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle A.$$

Теперь сравним диагонали.

Если $$\angle B>\angle A$$, то, поскольку $$\angle A+\angle B=180^\circ$$, получаем $$\angle A<90^\circ$$, значит $$\cos\angle A>0$$. Тогда

$$AC^2-BD^2=4\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle A>0,$$

следовательно, $$AC>BD$$.

Докажем обратное утверждение. Если $$AC>BD$$, то $$AC^2>BD^2$$, значит

$$4\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle A>0,$$

откуда $$\cos\angle A>0$$ и $$\angle A<90^\circ$$. Тогда $$\angle B=180^\circ-\angle A>\angle A$$.

Итак, против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ, и наоборот: если одна диагональ больше другой, то против неё лежит больший угол.

Ответ

Если в параллелограмме $$ABCD$$ $$\angle B>\angle A$$, то $$AC>BD$$. Обратно: если $$AC>BD$$, то $$\angle B>\angle A$$.