Упр.633 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Даны прямая $$a$$ и отрезок $$AB$$, не имеющий с ней общих точек. Каждой точке $$X$$ отрезка $$AB$$ поставлено в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из точки $$X$$ на прямую $$a$$. При каком взаимном расположении прямой $$a$$ и отрезка $$AB$$ описанное преобразование является движением?

Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$a$$. Тогда $$AA_1 \perp a$$, $$BB_1 \perp a$$, значит $$AA_1 \parallel BB_1$$.

Чтобы данное преобразование было движением, оно должно сохранять расстояния. В частности, должно выполняться

$$AB=A_1B_1.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1B_1B$$.

Если $$AB \not\parallel a$$, то четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ является прямоугольной трапецией, и тогда $$AB>A_1B_1$$, то есть расстояние не сохраняется.

Если же $$AB \parallel a$$, то четырёхугольник $$AA_1B_1B$$ — прямоугольник, поэтому

$$AB=A_1B_1.$$

Следовательно, преобразование является движением только в случае, когда прямая $$a$$ параллельна отрезку $$AB$$.

Ответ

$$AB \parallel a$$.