Упр.632 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 632. Дан угол MON. Каждой точке X стороны ОМ поставлена в соответствие такая точка X1 стороны ON, что прямая XX1 перпендикулярна биссектрисе угла MON (точке О соответствует точка О). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$OXX_1$$. По условию $$XX_1 \perp OH$$, где $$OH$$ — биссектриса угла $$MON$$. Значит, в треугольнике $$OXX_1$$ отрезок $$OH$$ является и биссектрисой угла при вершине $$O$$, и высотой.

Следовательно, треугольник $$OXX_1$$ равнобедренный, поэтому

$$OX=OX_1.$$

Значит, каждая точка $$X$$ стороны $$OM$$ переходит в точку $$X_1$$ стороны $$ON$$ так, что расстояние до точки $$O$$ сохраняется. Точка $$O$$ при этом переходит в саму себя.

Итак, данное преобразование сохраняет расстояния между соответствующими точками, то есть является движением.