Упр.632 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Дан угол $$\angle MON$$. Каждой точке $$X$$ стороны $$OM$$ поставлена в соответствие такая точка $$X_1$$ стороны $$ON$$, что прямая $$XX_1$$ перпендикулярна биссектрисе угла $$\angle MON$$ (точке $$O$$ соответствует точка $$O$$). Докажите, что описанное преобразование является движением.

Рассмотрим треугольник $$OXX_1$$. По условию $$XX_1 \perp OH$$, где $$OH$$ — биссектриса угла $$MON$$. Значит, в треугольнике $$OXX_1$$ отрезок $$OH$$ является и биссектрисой угла при вершине $$O$$, и высотой.

Следовательно, треугольник $$OXX_1$$ равнобедренный, поэтому

$$OX=OX_1.$$

Значит, каждая точка $$X$$ стороны $$OM$$ переходит в точку $$X_1$$ стороны $$ON$$ так, что расстояние до точки $$O$$ сохраняется. Точка $$O$$ при этом переходит в саму себя.

Итак, данное преобразование сохраняет расстояния между соответствующими точками, то есть является движением.

Ответ

Описанное преобразование является движением, так как для любой точки $$X$$ выполняется $$OX=OX_1$$.