Упр.631 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Дан угол $$\angle AOB$$ (рис. 161). Каждой точке $$X$$ стороны $$OA$$ поставим в соответствие точку $$X_1$$, которая принадлежит стороне $$OB$$ и лежит на окружности с центром $$O$$ радиуса $$OX$$ (точке $$O$$ поставим в соответствие точку $$O$$). Какая фигура является образом стороны $$OA$$? Докажите, что описанное преобразование является движением.

Каждой точке $$X$$ на стороне $$OA$$ поставим в соответствие точку $$X_1$$ на стороне $$OB$$ так, что $$OX_1=OX$$. Точка $$O$$ переходит в саму себя.

Так как луч $$OA$$ переходит в луч $$OB$$, то образом стороны $$OA$$ является сторона $$OB$$.

Докажем, что это преобразование является движением. Возьмём любые две точки $$X$$ и $$Y$$ на стороне $$OA$$, причём пусть $$Y$$ дальше от $$O$$, чем $$X$$. Тогда

$$XY=OY-OX.$$

Образы этих точек — $$X_1$$ и $$Y_1$$ — лежат на стороне $$OB$$ и удовлетворяют условиям

$$OX_1=OX,\qquad OY_1=OY.$$

Следовательно,

$$X_1Y_1=OY_1-OX_1=OY-OX=XY.$$

Значит, расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Следовательно, данное преобразование является движением.

Ответ

Образ стороны $$OA$$ — сторона $$OB$$. Описанное преобразование является движением, так как сохраняет расстояния между любыми двумя точками.