Упр.63 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 63. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если АВ=4 см, AD=3 см, BD=6 см и АС=30°?

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos\angle A.$$

Подставим данные:

$$36=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cos\angle A,$$

$$36=25-24\cos\angle A,$$

$$24\cos\angle A=-11,$$

$$\cos\angle A=-\frac{11}{24}.$$

Если бы четырёхугольник $$ABCD$$ был вписан в окружность, то сумма противоположных углов была бы равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Так как $$\angle C=30^\circ$$, получаем:

$$\angle A=180^\circ-30^\circ=150^\circ,$$

и тогда

$$\cos\angle A=\cos 150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Но

$$-\frac{11}{24}\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно, условие вписанного четырёхугольника не выполняется, значит, окружность около четырёхугольника $$ABCD$$ описать нельзя.

Ответ

Нет.