Упр.620 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 620. На высоте правильного треугольника со стороной 6v3 см как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, расположенной вне треугольника.

Подробный ответ

В правильном треугольнике $$ABC$$ высота $$BH$$ является одновременно медианой, поэтому

$$AH=CH=\frac{AC}{2}.$$

Так как треугольник правильный и $$AB=6\sqrt{3}$$ см, то $$AC=6\sqrt{3}$$ см, значит

$$AH=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Найдём высоту $$BH$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$ BH=\sqrt{AB^2-AH^2} =\sqrt{(6\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2} =\sqrt{108-27} =\sqrt{81}=9. $$

Высота $$BH$$ является диаметром окружности, значит её длина равна

$$ C=\pi d=\pi\cdot 9=9\pi. $$

Окружность пересекает стороны треугольника в точках $$B, E, F$$. Центральный угол $$\angle EOF$$ опирается на дугу $$EF$$, лежащую внутри треугольника, и равен $$120^\circ$$, поэтому дуга окружности, расположенная вне треугольника, составляет

$$360^\circ-120^\circ=240^\circ.$$

Тогда длина искомой дуги:

$$ L=9\pi\cdot \frac{240^\circ}{360^\circ} =9\pi\cdot \frac{2}{3} =6\pi. $$