Упр.62 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите диагональ $$AC$$ четырёхугольника $$ABCD$$, если около него можно описать окружность и $$AB=3\ \text{см}$$, $$BC=4\ \text{см}$$, $$CD=5\ \text{см}$$, $$AD=6\ \text{см}$$.

Так как около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\cos \angle B=-\cos \angle D.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и применим теорему косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B.$$

Подставим данные:

$$AC^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos \angle B$$

$$AC^2=9+16-24\cos \angle B.$$

Так как $$\cos \angle B=-\cos \angle D$$, получаем

$$AC^2=25+24\cos \angle D,$$

откуда

$$\cos \angle D=\frac{AC^2-25}{24}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$ и снова применим теорему косинусов:

$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos \angle D.$$

Подставим значения:

$$AC^2=6^2+5^2-2\cdot 6\cdot 5\cdot \frac{AC^2-25}{24}.$$

Тогда

$$AC^2=36+25-\frac{60}{24}(AC^2-25),$$

$$AC^2=61-2{,}5(AC^2-25),$$

$$AC^2=61-2{,}5AC^2+62{,}5,$$

$$3{,}5AC^2=123{,}5,$$

$$AC^2=\frac{247}{7}.$$

Следовательно,

$$AC=\sqrt{\frac{247}{7}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{247}{7}} \text{ см}.$$