Упр.619 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 619. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба, делит его сторону на отрезки, один из которых на 7 см больше другого. Найдите периметр ромба, если его высота равна 24 см.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$O$$, а основания перпендикуляра на стороны ромба — через $$E$$ и $$F$$. Тогда $$EF$$ — высота ромба, значит

$$OE=OF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\cdot 24=12.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOE$$ и $$DOE$$. У них

$$\angle AEO=\angle DEO=90^\circ,$$

а также $$\angle OAE=\angle ODE$$, так как диагонали ромба делят его углы пополам. Следовательно, $$\triangle AOE \sim \triangle DOE$$.

Из подобия получаем

$$\frac{AE}{OE}=\frac{OE}{DE},$$

то есть

$$AE\cdot DE=OE^2=12^2=144.$$

По условию один из отрезков на $$7$$ см больше другого, значит

$$AE=DE+7.$$

Тогда

$$ (DE+7)\cdot DE=144 $$