Упр.619 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)
- Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба, делит его сторону на отрезки, один из которых на $$7\ \text{см}$$ больше другого. Найдите периметр ромба, если его высота равна $$24\ \text{см}$$.
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$O$$, а основания перпендикуляра на стороны ромба — через $$E$$ и $$F$$. Тогда $$EF$$ — высота ромба, значит
$$OE=OF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\cdot 24=12.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOE$$ и $$DOE$$. У них
$$\angle AEO=\angle DEO=90^\circ,$$
а также $$\angle OAE=\angle ODE$$, так как диагонали ромба делят его углы пополам. Следовательно, $$\triangle AOE \sim \triangle DOE$$.
Из подобия получаем
$$\frac{AE}{OE}=\frac{OE}{DE},$$
то есть
$$AE\cdot DE=OE^2=12^2=144.$$
По условию один из отрезков на $$7$$ см больше другого, значит
$$AE=DE+7.$$
Тогда
$$(DE+7)\cdot DE=144$$
$$DE^2+7DE-144=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=7^2+4\cdot 144=49+576=625,$$
$$DE=\frac{-7+25}{2}=9.$$
Тогда
$$AE=9+7=16.$$
Сторона ромба равна
$$AB=AE+DE=16+9=25.$$
Следовательно, периметр ромба:
$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 25=100.$$
Ответ
$$100\text{ см}$$
