Упр.618 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 618. Точка М — середина диагонали АС выпуклого четырёхугольника АВCD (рис. 145). Докажите, что четырёхугольники ABMD и CBMD равновелики.

Подробный ответ

Пусть $$BE \perp AC,$$ $$E \in AC,$$ и $$DF \perp AC,$$ $$F \in AC.$$ Тогда четырёхугольники $$ABMD$$ и $$CBMD$$ можно разбить на пары треугольников:

$$S_{ABMD}=S_{ABM}+S_{ADM},$$
$$S_{CBMD}=S_{CBM}+S_{CDM}.$$

Так как у треугольников $$ABM$$ и $$ADM$$ общая высота, опущенная на прямую $$AC,$$ то

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\,AM\cdot BE,$$
$$S_{ADM}=\frac{1}{2}\,AM\cdot DF.$$

Следовательно,

$$S_{ABMD}=\frac{1}{2}AM\cdot BE+\frac{1}{2}AM\cdot DF =\frac{1}{2}AM\,(BE+DF).$$

Аналогично, для четырёхугольника $$CBMD$$ получаем:

$$S_{CBM}=\frac{1}{2}\,CM\cdot BE,$$
$$S_{CDM}=\frac{1}{2}\,CM\cdot DF,$$

поэтому

$$S_{CBMD}=\frac{1}{2}CM\cdot BE+\frac{1}{2}CM\cdot DF =\frac{1}{2}CM\,(BE+DF).$$

Так как точка $$M$$ — середина диагонали $$AC,$$ то $$AM=CM=\frac{1}{2}AC.$$ Тогда