Упр.617 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены квадраты $$ABMN$$ и $$BCKF$$. Докажите, что медиана $$BD$$ треугольника $$ABC$$ перпендикулярна прямой $$MF$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$ABMN$$ и $$BCKF$$ — квадраты, построенные во внешнюю сторону, то

$$\overrightarrow{BM}\perp \overrightarrow{BA}, \qquad \overrightarrow{BF}\perp \overrightarrow{BC},$$

а также

$$BM=BA,\qquad BF=BC.$$

Поскольку $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, точка $$D$$ — середина стороны $$AC$$, значит

$$\overrightarrow{BD}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right).$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BF}.$$

Найдём скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{MF}$$:

$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{MF} = \frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BF}\right).$$

Раскроем скобки:

$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{MF} = \frac12\left( \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF} \right).$$

Так как $$\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BF}$$ и $$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{BM}$$, то

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=0,\qquad \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BM}=0.$$

Кроме того, из равенства сторон квадратов и перпендикулярности соответствующих векторов получаем

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}.$$

Следовательно, сумма всех слагаемых равна нулю, и потому

$$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{MF}=0.$$

Значит, векторы $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{MF}$$ перпендикулярны, то есть

$$MF\perp BD.$$