Упр.616 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BD$$. Известно, что $$\angle DBC=90^\circ$$, $$BD=\frac{\sqrt{3}}{4}AB$$. Найдите угол $$ABD$$.

Обозначим векторы сторон треугольника $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$. Так как $$BD$$ — медиана, то для точки $$D$$ имеем

$$\overrightarrow{BD}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right).$$

По условию $$\angle DBC=90^\circ$$, значит

$$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$$

Возведём в квадрат длину вектора $$\overrightarrow{BD}$$:

$$\left|\overrightarrow{BD}\right|^2 =\frac14\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)^2 =\frac14\left(\left|\overrightarrow{BA}\right|^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^2\right).$$

С другой стороны, из формулы для скалярного произведения

$$\left|\overrightarrow{BD}\right|^2 =\frac12\left(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}\right) =\frac12\,\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA},$$

так как $$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$$.

Тогда

$$\left|\overrightarrow{BD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BA}\right|\cos\angle ABD =2\left|\overrightarrow{BD}\right|^2.$$

По условию $$BD=\frac{\sqrt3}{4}AB$$, значит

$$\frac{\sqrt3}{4}AB\cdot AB\cos\angle ABD =2\cdot\left(\frac{\sqrt3}{4}AB\right)^2.$$

Сократим на $$AB^2$$:

$$\frac{\sqrt3}{4}\cos\angle ABD =2\cdot\frac{3}{16},$$

откуда

$$\cos\angle ABD=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle ABD=30^\circ.$$

Ответ

$$30^\circ$$