Упр.616 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 616. В треугольнике АВС проведена медиана BD. Известно, что угол DBC=90°, BD=(v3/4)AB. Найдите угол ABD.

Подробный ответ

Обозначим векторы сторон треугольника $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$. Так как $$BD$$ — медиана, то для точки $$D$$ имеем

$$\overrightarrow{BD}=\frac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right).$$

По условию $$\angle DBC=90^\circ$$, значит

$$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$$

Возведём в квадрат длину вектора $$\overrightarrow{BD}$$:

$$ \left|\overrightarrow{BD}\right|^2 =\frac14\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)^2 =\frac14\left(\left|\overrightarrow{BA}\right|^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^2\right). $$

С другой стороны, из формулы для скалярного произведения

$$ \left|\overrightarrow{BD}\right|^2 =\frac12\left(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}\right) =\frac12\,\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BA}, $$

так как $$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$$.

Тогда

$$ \left|\overrightarrow{BD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BA}\right|\cos\angle ABD =2\left|\overrightarrow{BD}\right|^2. $$

По условию $$BD=\frac{\sqrt3}{4}AB$$, значит

$$ \frac{\sqrt3}{4}AB\cdot AB\cos\angle ABD =2\cdot\left(\frac{\sqrt3}{4}AB\right)^2. $$

Сократим на $$AB^2$$:

$$ \frac{\sqrt3}{4}\cos\angle ABD =2\cdot\frac{3}{16}, $$

откуда

$$ \cos\angle ABD=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Следовательно,

$$\angle ABD=30^\circ.$$