Упр.615 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

В четырехугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$. Известно, что $$OB=OC=1$$, $$OA=2$$, $$OD=3$$. Найдите угол между прямыми $$AB$$ и $$DC$$.

Подробный ответ

Так как диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$, введём векторы

$$\overrightarrow{OB}=\vec b,\qquad \overrightarrow{OC}=\vec c.$$

Тогда $$\vec b \perp \vec c$$, значит

$$\vec b \cdot \vec c=0.$$

Поскольку $$OB=OC=1$$, $$OA=2$$, $$OD=3$$, получаем

$$\overrightarrow{OA}=2\vec c,\qquad \overrightarrow{OD}=3\vec b.$$

Найдём векторы сторон:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-2\vec c+\vec b,$$

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}=-3\vec b+\vec c.$$

Скалярное произведение этих векторов равно

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC} =(-2\vec c+\vec b)\cdot(-3\vec b+\vec c) =6\,\vec c\cdot\vec b-2|\vec c|^2-3|\vec b|^2+\vec b\cdot\vec c.$$

Так как $$\vec b\cdot\vec c=0$$ и $$|\vec b|=|\vec c|=1$$, то

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=-2-3=-5.$$

Найдём длины векторов:

$$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5,$$

$$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$$

Тогда

$$\cos \angle(AB,DC)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}\right|}{AB\cdot CD} =\frac{5}{\sqrt5\cdot \sqrt{10}} =\frac{1}{\sqrt2}.$$

Следовательно,

$$\angle(AB,DC)=45^\circ.$$