Упр.614 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

В треугольнике \(ABC\) известно, что $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=1$$, $$BC=\sqrt{2}$$. Докажите, что его медианы $$AK$$ и $$CM$$ перпендикулярны.

Зададим векторы $$\overrightarrow{CA}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{CB}=\vec b$$.

Так как $$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$, поэтому

$$\overrightarrow{CM}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=\frac12\vec a+\frac12\vec b.$$

Поскольку $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\vec b-\vec a,$$ а $$AK$$ — медиана, то точка $$K$$ — середина стороны $$BC$$, и

$$\overrightarrow{AK}=\frac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)=\frac12(-\vec a+\vec b)=\frac12\vec b-\vec a.$$

Найдём скалярное произведение этих векторов:

$$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AK} = \left(\frac12\vec a+\frac12\vec b\right)\left(\frac12\vec b-\vec a\right)$$

$$= -\frac14\vec a\cdot\vec b+\frac14|\vec b|^2-\frac12|\vec a|^2.$$

Так как $$\angle C=90^\circ,$$ то $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos 90^\circ=0.$$ Кроме того, $$|\vec a|=AC=1,$$ $$|\vec b|=BC=\sqrt2.$$ Тогда

$$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AK} = -\frac14\cdot 0+\frac14\cdot 2-\frac12\cdot 1 = \frac12-\frac12=0.$$

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Значит, $$AK\perp CM.$$

Ответ

$$AK\perp CM.$$