Упр.613 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Найдите угол между векторами $$a$$ и $$b$$, если $$(a+b)\cdot(a+2b)=\frac{3}{2}$$, $$|a|=|b|=1$$.

Раскроем скалярное произведение:

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b) = \vec a\cdot\vec a + 2\vec a\cdot\vec b + \vec b\cdot\vec a + 2\vec b\cdot\vec b$$

Так как $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, получаем

$$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b)=|\vec a|^2+3\vec a\cdot\vec b+2|\vec b|^2.$$

По условию $$|\vec a|=|\vec b|=1$$, значит

$$1+3\vec a\cdot\vec b+2= \frac{3}{2}.$$

Отсюда

$$3\vec a\cdot\vec b=-\frac{3}{2}, \qquad \vec a\cdot\vec b=-\frac{1}{2}.$$

Но

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b).$$

Следовательно,

$$1\cdot 1\cdot \cos\angle(\vec a,\vec b)=-\frac{1}{2},$$

то есть

$$\cos\angle(\vec a,\vec b)=-\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\angle(\vec a,\vec b)=120^\circ.$$

Ответ

$$120^\circ$$