Упр.613 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 613. Найдите угол между векторами а и b, если (a+b)·(a+2b)=3/2, |a|=|b|=1.

Раскроем скалярное произведение:

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b) = \vec a\cdot\vec a + 2\vec a\cdot\vec b + \vec b\cdot\vec a + 2\vec b\cdot\vec b $$

Так как $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, получаем

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+2\vec b)=|\vec a|^2+3\vec a\cdot\vec b+2|\vec b|^2. $$

По условию $$|\vec a|=|\vec b|=1$$, значит

$$ 1+3\vec a\cdot\vec b+2= \frac{3}{2}. $$

Отсюда

$$ 3\vec a\cdot\vec b=-\frac{3}{2}, \qquad \vec a\cdot\vec b=-\frac{1}{2}. $$

Но

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b). $$

Следовательно,

$$ 1\cdot 1\cdot \cos\angle(\vec a,\vec b)=-\frac{1}{2}, $$

то есть

$$ \cos\angle(\vec a,\vec b)=-\frac{1}{2}. $$

Тогда

$$ \angle(\vec a,\vec b)=120^\circ. $$

Ответ

$$120^\circ$$