Упр.612 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Найдите угол между векторами $$m$$ и $$n$$, если $$(m+3n)\cdot(m-n)=-11$$, $$|m|=2$$, $$|n|=3$$.

Раскроем скалярное произведение:

$$(\vec m+3\vec n)\cdot(\vec m-\vec n) =\vec m\cdot\vec m-\vec m\cdot\vec n+3\vec n\cdot\vec m-3\vec n\cdot\vec n.$$

Так как $$\vec m\cdot\vec n=\vec n\cdot\vec m,$$ получаем

$$(\vec m+3\vec n)\cdot(\vec m-\vec n)=|\vec m|^2+2\vec m\cdot\vec n-3|\vec n|^2.$$

Подставим данные:

$$4+2\vec m\cdot\vec n-3\cdot 9=-11.$$

$$4+2\vec m\cdot\vec n-27=-11,$$

$$2\vec m\cdot\vec n=12,$$

$$\vec m\cdot\vec n=6.$$

Теперь используем формулу скалярного произведения:

$$\vec m\cdot\vec n=|\vec m|\,|\vec n| \cos\angle(\vec m,\vec n).$$

Тогда

$$6=2\cdot 3\cdot \cos\angle(\vec m,\vec n),$$

$$\cos\angle(\vec m,\vec n)=1.$$

Следовательно,

$$\angle(\vec m,\vec n)=0^\circ.$$

Ответ

$$0^\circ$$