Упр.610 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 610. Докажите, что для любых двух векторов а и b выполняется неравенство -|a||b| < =a·b < =|a||b|.

Скалярное произведение двух векторов выражается формулой

$$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b).$$

Если $$|\vec a|\ne 0$$ и $$|\vec b|\ne 0,$$ то угол между векторами удовлетворяет неравенству

$$-1\le \cos\angle(\vec a,\vec b)\le 1.$$

Умножим это неравенство на неотрицательное число $$|\vec a|\,|\vec b|$$:

$$-|\vec a|\,|\vec b|\le |\vec a|\,|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b)\le |\vec a|\,|\vec b|.$$

С учётом формулы скалярного произведения получаем

$$-|\vec a|\,|\vec b|\le \vec a\cdot \vec b\le |\vec a|\,|\vec b|.$$

Если же $$|\vec a|=0$$ или $$|\vec b|=0,$$ то один из векторов нулевой, поэтому

$$\vec a\cdot \vec b=0,$$

и неравенство также выполняется:

$$-|\vec a|\,|\vec b|\le 0\le |\vec a|\,|\vec b|.$$

Следовательно, для любых двух векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$ верно неравенство

$$-|\vec a|\,|\vec b|\le \vec a\cdot \vec b\le |\vec a|\,|\vec b|.$$

Ответ

$$-|\vec a|\,|\vec b|\le \vec a\cdot \vec b\le |\vec a|\,|\vec b|.$$