Упр.61 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 61. В трапеции ABCD (AD параллельна ВС) известно, что АВ=v15 см, ВС=6 см, CD=4 см, AD=11 см. Найдите косинус угла D трапеции.

Подробный ответ

Проведём через точку $$B$$ прямую $$BE$$, параллельную основанию $$CD$$, и пусть $$E \in AD$$.

Тогда четырёхугольник $$BCDE$$ — параллелограмм, значит

$$DE=BC=6,\qquad BE=CD=4.$$

Так как $$AD \parallel BC$$ и $$BE \parallel CD$$, то угол между прямыми $$AE$$ и $$BE$$ равен углу $$D$$ трапеции, то есть $$\angle AEB=\angle D$$.

Найдём отрезок $$AE$$:

$$AE=AD-DE=11-6=5.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABE$$ и применим теорему косинусов:

$$ AB^2=AE^2+BE^2-2\cdot AE\cdot BE\cdot \cos\angle AEB. $$

Подставим известные значения:

$$ 15=5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \cos\angle D. $$

$$ 15=25+16-40\cos\angle D, $$