Упр.609 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Найдите углы треугольника с вершинами $$A(0; 6)$$, $$B(4\sqrt{3}; 6)$$, $$C(3\sqrt{3}; 3)$$.

Подробный ответ

Найдём длины векторов, задающих стороны треугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(4\sqrt{3}-0,\;6-6)=(4\sqrt{3},0),$$
$$\overrightarrow{AC}=(3\sqrt{3}-0,\;3-6)=(3\sqrt{3},-3),$$
$$\overrightarrow{BC}=(3\sqrt{3}-4\sqrt{3},\;3-6)=(-\sqrt{3},-3).$$

Вычислим угол $$A$$ по формуле скалярного произведения:

$$\cos \angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|}.$$

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}+0\cdot(-3)=36,$$
$$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+0^2}=4\sqrt{3},$$
$$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=6.$$

$$\cos \angle A=\frac{36}{4\sqrt{3}\cdot 6}=\frac{36}{24\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
значит
$$\angle A=30^\circ.$$

Теперь найдём угол $$B$$:

$$\cos \angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}.$$

$$\overrightarrow{BA}=(-4\sqrt{3},0),$$
$$\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{3},-3).$$

$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4\sqrt{3})(-\sqrt{3})+0\cdot(-3)=12,$$
$$|\overrightarrow{BA}|=4\sqrt{3},\qquad |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}.$$

$$\cos \angle B=\frac{12}{4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2},$$
следовательно,
$$\angle B=60^\circ.$$

Третий угол треугольника:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ.$$