Упр.608 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 608. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А(1; 6), В(-2; 3), С(2; -1).

Подробный ответ

Найдём координаты векторов сторон треугольника:

$$\overrightarrow{AB}=(-2-1;\,3-6)=(-3;\,-3),$$
$$\overrightarrow{BC}=(2-(-2);\,-1-3)=(4;\,-4),$$
$$\overrightarrow{AC}=(2-1;\,-1-6)=(1;\,-7).$$

Используем формулу косинуса угла между векторами:

$$\cos \varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}.$$

1) Косинус угла $$A$$

$$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} =\frac{(-3)\cdot 1+(-3)\cdot(-7)}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}\cdot \sqrt{1^2+(-7)^2}}.$$

$$\cos A=\frac{-3+21}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{50}} =\frac{18}{\sqrt{900}} =\frac{18}{30} =\frac{3}{5}.$$

2) Косинус угла $$B$$

$$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} =\frac{(3)\cdot 4+(3)\cdot(-4)}{\sqrt{3^2+3^2}\cdot \sqrt{4^2+(-4)^2}}.$$

$$\cos B=\frac{12-12}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{32}}=0.$$

3) Косинус угла $$C$$

$$\cos C=\frac{\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}|\cdot |\overrightarrow{CA}|} =\frac{(-4)\cdot(-1)+4\cdot 7}{\sqrt{(-4)^2+4^2}\cdot \sqrt{(-1)^2+7^2}}.$$

$$\cos C=\frac{4+28}{\sqrt{32}\cdot \sqrt{50}} =\frac{32}{\sqrt{1600}} =\frac{32}{40} =\frac{4}{5}.$$