Упр.607 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 607. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами А(-1; 4), В(-2; 5), С(-1; 6), D(0; 5) является квадратом.

Подробный ответ

Найдём скалярные произведения соседних сторон четырёхугольника.

$$\overrightarrow{AB}=(-2-(-1),\,5-4)=(-1,\,1),$$
$$\overrightarrow{AD}=(0-(-1),\,5-4)=(1,\,1).$$
Тогда
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0.$$
Значит, $$\angle A=90^\circ.$$

$$\overrightarrow{BC}=(-1-(-2),\,6-5)=(1,\,1),$$
$$\overrightarrow{BA}=(-1-(-2),\,4-5)=(1,\,-1).$$
Тогда
$$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=1\cdot 1+1\cdot(-1)=0.$$
Значит, $$\angle B=90^\circ.$$

$$\overrightarrow{CB}=(-2-(-1),\,5-6)=(-1,\,-1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(0-(-1),\,5-6)=(1,\,-1).$$
Тогда
$$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=(-1)\cdot 1+(-1)\cdot(-1)=0.$$
Значит, $$\angle C=90^\circ.$$

Проверим диагонали:
$$\overrightarrow{AC}=(-1-(-1),\,6-4)=(0,\,2),$$
$$\overrightarrow{BD}=(0-(-2),\,5-5)=(2,\,0).$$
Тогда
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\cdot 2+2\cdot 0=0.$$
Следовательно, $$AC\perp BD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ три угла прямые, значит, и четвёртый угол прямой. Следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник. Кроме того, его диагонали перпендикулярны, а значит, этот прямоугольник является квадратом.