Упр.606 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 606. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А(3; -2), В(4; 0), С(2; 1), D(1; -1) является прямоугольником.

Подробный ответ

Найдём скалярные произведения соседних сторон четырёхугольника.

$$\overrightarrow{AB}=(4-3;\,0-(-2))=(1;\,2),$$
$$\overrightarrow{AD}=(1-3;\,-1-(-2))=(-2;\,1).$$
Тогда
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot(-2)+2\cdot1=-2+2=0.$$
Значит, $$\angle A=90^\circ.$$

$$\overrightarrow{BC}=(2-4;\,1-0)=(-2;\,1),$$
$$\overrightarrow{BA}=(3-4;\,-2-0)=(-1;\,-2).$$
Тогда
$$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=(-2)\cdot(-1)+1\cdot(-2)=2-2=0.$$
Значит, $$\angle B=90^\circ.$$

$$\overrightarrow{CB}=(4-2;\,0-1)=(2;\,-1),$$
$$\overrightarrow{CD}=(1-2;\,-1-1)=(-1;\,-2).$$
Тогда
$$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-2)=-2+2=0.$$
Значит, $$\angle C=90^\circ.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCD$$ три угла прямые, а значит, и четвёртый угол тоже прямой. Поэтому $$ABCD$$ — прямоугольник.