Упр.604 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 604. Известно, что |a|=v3, |b|=1, угол(a, b)=150°. Найдите |2a+5b|.

Найдём квадрат модуля вектора $$2\vec a+5\vec b$$:

$$ |2\vec a+5\vec b|^2=(2\vec a+5\vec b)^2 $$
$$ =(2\vec a)^2+2\cdot 2\vec a\cdot 5\vec b+(5\vec b)^2 $$
$$ =4|\vec a|^2+20|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\angle(\vec a,\vec b)+25|\vec b|^2. $$

Подставим данные:

$$ |2\vec a+5\vec b|^2=4\cdot 3+20\cdot \sqrt3\cdot 1\cdot \cos 150^\circ+25\cdot 1. $$

Так как $$\cos 150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},$$ получаем:

$$ |2\vec a+5\vec b|^2=12+20\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+25 $$
$$ =12-30+25=7. $$

Тогда

$$ |2\vec a+5\vec b|=\sqrt7. $$

Ответ

$$\sqrt7$$