Упр.603 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 603. Найдите скалярное произведение (a-2b)·(a+b), если |a|=|b|=1, угол(a, b)=120°.

Подробный ответ

Раскроем скобки в скалярном произведении:

$$ (\vec a-2\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) = \vec a\cdot\vec a+\vec a\cdot\vec b-2\vec b\cdot\vec a-2\vec b\cdot\vec b. $$

Так как скалярное произведение коммутативно, то $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$. Тогда

$$ (\vec a-2\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) = |\vec a|^2-\vec a\cdot\vec b-2|\vec b|^2. $$

Найдём $$\vec a\cdot\vec b$$:

$$ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos 120^\circ =1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right) =-\frac12. $$

Подставим значения:

$$ (\vec a-2\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =1^2-\left(-\frac12\right)-2\cdot 1^2 =1+\frac12-2 =-\frac12. $$