Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Известно, что $$|a|=3$$, $$|b|=2\sqrt{2}$$, угол $$\left(a,b\right)=45^\circ$$. Найдите скалярное произведение $$\left(2a-b\right)\cdot b$$.

Используем свойства скалярного произведения:

$$(2\mathbf a-\mathbf b)\cdot \mathbf b=2(\mathbf a\cdot \mathbf b)-(\mathbf b\cdot \mathbf b)=2(\mathbf a\cdot \mathbf b)-|\mathbf b|^2.$$

Найдём $$\mathbf a\cdot \mathbf b$$ по формуле:

$$\mathbf a\cdot \mathbf b=|\mathbf a|\cdot |\mathbf b|\cdot \cos \angle(\mathbf a,\mathbf b).$$

Тогда

$$\mathbf a\cdot \mathbf b=3\cdot 2\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ =3\cdot 2\sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2}=6.$$

Теперь вычислим искомое выражение:

$$(2\mathbf a-\mathbf b)\cdot \mathbf b=2\cdot 6-(2\sqrt2)^2=12-8=4.$$

Ответ

$$4$$