Упр.601 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 601. Векторы a+b и a-b перпендикулярны. Докажите, что |a|=|b|.

Так как векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:

$$\left(\vec a+\vec b\right)\cdot\left(\vec a-\vec b\right)=0.$$

Раскроем скобки:

$$\vec a\cdot\vec a-\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a-\vec b\cdot\vec b=0.$$

Так как $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, получаем:

$$|\vec a|^2-|\vec b|^2=0.$$

Следовательно,

$$|\vec a|^2=|\vec b|^2,$$

а значит,

$$|\vec a|=|\vec b|.$$

Ответ

$$|\vec a|=|\vec b|.$$