Упр.600 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 600. Известно, что векторы а и b неколлинеарны и |a|=|b| не равно 0. При каких значениях х векторы a+xb и a-xb перпендикулярны?

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны и $$|\vec a|=|\vec b|\ne 0$$, найдём значения $$x$$ из условия перпендикулярности векторов $$\vec a+x\vec b$$ и $$\vec a-x\vec b$$.

Для перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю:

$$ (\vec a+x\vec b)\cdot(\vec a-x\vec b)=0. $$

Раскроем скобки:

$$ \vec a\cdot\vec a-x\,\vec a\cdot\vec b+x\,\vec b\cdot\vec a-x^2\vec b\cdot\vec b=0. $$

Так как $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, средние слагаемые сокращаются:

$$ |\vec a|^2-x^2|\vec b|^2=0. $$

По условию $$|\vec a|=|\vec b|$$, значит

$$ |\vec a|^2(1-x^2)=0. $$

Так как $$|\vec a|\ne 0$$, получаем

$$ 1-x^2=0, $$

откуда

$$ x^2=1,\qquad x=\pm 1. $$

Ответ

$$x=-1,\ 1$$