Упр.600 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. Известно, что векторы $$a$$ и $$b$$ неколлинеарны и $$|a|=|b|\ne 0$$. При каких значениях $$x$$ векторы $$a+xb$$ и $$a-xb$$ перпендикулярны?

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны и $$|\vec a|=|\vec b|\ne 0$$, найдём значения $$x$$ из условия перпендикулярности векторов $$\vec a+x\vec b$$ и $$\vec a-x\vec b$$.

Для перпендикулярных векторов их скалярное произведение равно нулю:

$$(\vec a+x\vec b)\cdot(\vec a-x\vec b)=0.$$

Раскроем скобки:

$$\vec a\cdot\vec a-x\,\vec a\cdot\vec b+x\,\vec b\cdot\vec a-x^2\vec b\cdot\vec b=0.$$

Так как $$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$$, средние слагаемые сокращаются:

$$|\vec a|^2-x^2|\vec b|^2=0.$$

По условию $$|\vec a|=|\vec b|$$, значит

$$|\vec a|^2(1-x^2)=0.$$

Так как $$|\vec a|\ne 0$$, получаем

$$1-x^2=0,$$

откуда

$$x^2=1,\qquad x=\pm 1.$$

Ответ

$$x=-1,\ 1$$