Упр.60 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 60. В трапеции ABCD (AD параллельна ВС) известно, что АВ=5 см, ВС=9 см, AD=16 см, cos(угла A)=1/7. Найдите сторону CD трапеции.

Подробный ответ

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CE$$, параллельную $$AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит

$$AE=BC=9,\qquad CE=AB=5.$$

Так как $$AD \parallel BC$$ и $$CE \parallel AB$$, то угол между $$CE$$ и $$ED$$ равен углу между $$AB$$ и $$AD$$, то есть

$$\angle CED=\angle A.$$

Найдём отрезок $$DE$$:

$$DE=AD-AE=16-9=7.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ECD$$ и применим теорему косинусов:

$$ CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos\angle CED $$

Подставим известные значения:

$$ CD^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos A $$