Упр.60 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ ($$AD\parallel BC$$) известно, что $$AB=5\ \text{см}$$, $$BC=9\ \text{см}$$, $$AD=16\ \text{см}$$, $$\cos\angle A=\frac{1}{7}$$. Найдите сторону $$CD$$ трапеции.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CE$$, параллельную $$AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда четырёхугольник $$ABCE$$ — параллелограмм, значит

$$AE=BC=9,\qquad CE=AB=5.$$

Так как $$AD \parallel BC$$ и $$CE \parallel AB$$, то угол между $$CE$$ и $$ED$$ равен углу между $$AB$$ и $$AD$$, то есть

$$\angle CED=\angle A.$$

Найдём отрезок $$DE$$:

$$DE=AD-AE=16-9=7.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ECD$$ и применим теорему косинусов:

$$CD^2=CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot \cos\angle CED$$

Подставим известные значения:

$$CD^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos A$$

$$CD^2=25+49-70\cdot \frac{1}{7}=74-10=64$$

Следовательно,

$$CD=8.$$

Ответ

$$8\text{ см}$$