Упр.593 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

1) BA·CD; 2) AD·CD; 3) AO·ED; 4) AC·CD.

Рассмотрим правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ со стороной $$1$$ и центр $$O$$.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, значит

$$AO=BO=CO=DO=EO=FO=1.$$

Кроме того, соседние стороны и радиусы, проведённые к вершинам, образуют углы по $$60^\circ$$.

1) Найдём $$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}$$.

Так как $$BA=CD=1$$, а угол между векторами $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ равен $$60^\circ$$, то

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CD}=|BA|\cdot|CD|\cdot\cos 60^\circ=1\cdot 1\cdot \frac12=\frac12.$$

2) Найдём $$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}$$.

В правильном шестиугольнике диагональ $$AD$$ проходит через центр, поэтому

$$AD=AO+OD=1+1=2.$$

Угол между $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ равен $$60^\circ$$, значит

$$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}=|AD|\cdot|CD|\cdot\cos 60^\circ=2\cdot 1\cdot \frac12=1.$$

3) Найдём $$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED}$$.

Имеем $$AO=ED=1$$. Угол между этими векторами равен $$60^\circ$$, поэтому

$$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{ED}=|AO|\cdot|ED|\cdot\cos 60^\circ=1\cdot 1\cdot \frac12=\frac12.$$

4) Найдём $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}$$.

В правильном шестиугольнике диагональ $$AC$$ перпендикулярна стороне $$CD$$, то есть

$$\angle ACD=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=|AC|\cdot|CD|\cdot\cos 90^\circ=0.$$

Ответ

$$\frac12;\ 1;\ \frac12;\ 0.$$