Упр.592 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

1) AA1·BB1; 2) BM·MA1.

Подробный ответ

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$M$$. Тогда точка $$M$$ — центр тяжести треугольника, а угол между медианами равен

$$\angle A_1MB_1=\frac{1}{3}\cdot 360^\circ=120^\circ.$$

Найдём длину медианы в равностороннем треугольнике со стороной $$1$$:

$$AA_1=BB_1=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

1) Тогда скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{BB_1}$$ равно

$$\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{BB_1}=|AA_1|\cdot|BB_1|\cdot\cos 120^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac38.$$

2) Так как точка $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то

$$BM=\frac23\,BB_1=\frac23\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{3},$$

$$MA_1=\frac13\,AA_1=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{6}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{MA_1}=|BM|\cdot|MA_1|\cdot\cos 120^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{6}\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac{1}{12}.$$