Упр.589 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 589. Найдите косинус угла между векторами a(1; -2) и b(2; -3).

Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a=(1;\,-2)$$ и $$\vec b=(2;\,-3)$$:

$$\vec a\cdot \vec b=1\cdot 2+(-2)\cdot(-3)=2+6=8.$$

Найдём длины векторов:

$$|\vec a|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5,$$

$$|\vec b|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.$$

Тогда косинус угла между ними равен:

$$\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}=\frac{8}{\sqrt5\cdot \sqrt{13}}=\frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}.$$

Ответ

$$\frac{8\sqrt{65}}{65}$$