Упр.588 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 588. В треугольнике АВС известно, что угол C=90°, угол A=30°, СВ=2 см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) АС и BC; 2) АС и АВ; 3) СВ и ВА.

Подробный ответ

1) Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ лежат на взаимно перпендикулярных прямых, так как $$\angle C=90^\circ$$. Поэтому

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=|AC|\cdot|BC|\cdot\cos 90^\circ=0.$$

2) Найдём сначала гипотенузу $$AB$$:

$$AB=\frac{BC}{\sin 30^\circ}=\frac{2}{\frac12}=4.$$

Тогда

$$AC=AB\cdot\cos 30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|AC|\cdot|AB|\cdot\cos 30^\circ=2\sqrt3\cdot 4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12.$$

3) Снова имеем $$AB=4$$. Найдём угол $$\angle ABC$$:

$$\angle ABC=180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ.$$

Угол между векторами $$\overrightarrow{CB}$$ и $$\overrightarrow{BA}$$ равен