Упр.587 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 587. На рисунке 144 изображён ромб ABCD, в котором АВ=6 см, угол АВС=120°. Найдите скалярное произведение векторов: 1) АВ и AD; 2) АВ и СВ; 3) АВ и DC; 4) ВС и DA; 5) DB и DC; 6) BD и AD.

В ромбе все стороны равны, значит $$AB=BC=CD=DA=6$$. Также в ромбе соседние углы в сумме дают $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

1) Тогда

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=|AB|\cdot|AD|\cdot\cos\angle BAD=6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=36\cdot \frac12=18.$$

2) Угол между векторами $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ равен $$\angle ABC=120^\circ$$, поэтому

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=6\cdot 6\cdot\cos 120^\circ=36\cdot\left(-\frac12\right)=-18.$$

3) В ромбе противоположные стороны параллельны, значит $$\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{DC}$$ и угол между ними равен $$0^\circ$$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=6\cdot 6\cdot\cos 0^\circ=36.$$

4) Векторы $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ направлены противоположно, поэтому угол между ними равен $$180^\circ$$:

$$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DA}=6\cdot 6\cdot\cos 180^\circ=36\cdot(-1)=-36.$$

5) Рассмотрим диагональ $$BD$$. В ромбе диагонали биссектрисы углов, значит

$$\angle BDC=\frac12\angle ADC.$$

Так как $$\angle ADC=\angle ABC=120^\circ$$, то

$$\angle BDC=60^\circ.$$

Кроме того, в треугольнике $$BCD$$ имеем $$\angle BCD=180^\circ-\angle ABC=60^\circ$$, следовательно, $$BD=CD=AB=6$$. Тогда

$$\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=36\cdot\frac12=18.$$

6) Аналогично, угол между $$\overrightarrow{BD}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ равен $$60^\circ$$, а $$BD=AD=6$$, поэтому

$$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AD}=6\cdot 6\cdot\cos 60^\circ=36\cdot\frac12=18.$$

Ответ

1) $$18$$; 2) $$-18$$; 3) $$36$$; 4) $$-36$$; 5) $$18$$; 6) $$18$$.