Упр.582 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

На рисунке 143 изображён квадрат $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол между векторами: 1) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; 2) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$; 3) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$; 4) $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$; 5) $$\overrightarrow{BO}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.

В квадрате $$ABCD$$ соседние стороны перпендикулярны, значит

$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=90^\circ.$$

Диагональ квадрата биссектрисa его угла, поэтому она делит угол $$90^\circ$$ пополам. Тогда

$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Вектор $$\overrightarrow{CA}$$ направлен противоположно вектору $$\overrightarrow{AC}$$, поэтому угол между $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CA}$$ равен

$$180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

Аналогично, диагональ $$BD$$ образует с каждой стороной квадрата угол $$45^\circ$$. Поэтому угол между векторами $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ равен

$$180^\circ-45^\circ=135^\circ.$$

Точка $$O$$ — точка пересечения диагоналей квадрата, значит $$\overrightarrow{BO}$$ лежит на диагонали $$BD$$. Следовательно, угол между $$\overrightarrow{BO}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ равен

$$45^\circ.$$

Ответ

1) $$90^\circ$$; 2) $$45^\circ$$; 3) $$135^\circ$$; 4) $$135^\circ$$; 5) $$45^\circ$$.