Упр.581 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 581. На рисунке 142 изображён равносторонний треугольник АВС, медианы которого АМ и ВК пересекаются в точке F. Найдите угол между векторами: 1) ВА и ВС; 2) ВА и АС; 3) ВС и АМ; 4) АВ и АМ; 5) АВ и ВК; 6) АМ и ВК; 7) CF и АВ.

Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то все его углы равны $$60^\circ$$. Кроме того, медианы равностороннего треугольника являются также высотами и биссектрисами.

1) Угол между векторами $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{BC}$$ равен углу $$\angle ABC$$, значит

$$\angle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=60^\circ.$$

2) Векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ направлены так, что угол между ними дополняет угол $$60^\circ$$ до развернутого:

$$\angle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC})=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

3) Медиана $$AM$$ в равностороннем треугольнике перпендикулярна стороне $$BC$$, поэтому

$$\angle(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AM})=90^\circ.$$

4) Так как $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

5) Медиана $$BK$$ перпендикулярна стороне $$AC$$, а угол между $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ равен $$60^\circ$$. Тогда

$$\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BK})=180^\circ-\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=150^\circ.$$

6) Угол между медианами $$AM$$ и $$BK$$ равен сумме углов $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$:

$$\angle(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BK})=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ+90^\circ=120^\circ.$$

7) Точка $$F$$ лежит на медиане $$BK$$, значит $$CF$$ направлен вдоль высоты, перпендикулярной $$AB$$. Следовательно,

$$\angle(\overrightarrow{CF},\overrightarrow{AB})=90^\circ.$$

Ответ

$$1)~60^\circ;\quad 2)~120^\circ;\quad 3)~90^\circ;\quad 4)~30^\circ;\quad 5)~150^\circ;\quad 6)~120^\circ;\quad 7)~90^\circ.$$