Упр.58 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Диагонали параллелограмма равны $$8\ \text{см}$$ и $$14\ \text{см}$$, а одна из сторон на $$2\ \text{см}$$ больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=\frac12 AC=7,\qquad BO=DO=\frac12 BD=4.$$

Обозначим $$AD=x$$, тогда $$AB=x+2$$.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. По теореме косинусов:

$$AD^2=AO^2+DO^2-2\cdot AO\cdot DO\cdot \cos\angle AOD$$

$$x^2=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \cos\angle AOD$$

$$x^2=65-56\cos\angle AOD.$$

Так как углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOA$$ смежные, то

$$\cos\angle BOA=-\cos\angle AOD=\frac{x^2-65}{56}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB$$

$$(x+2)^2=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \frac{x^2-65}{56}$$

$$x^2+4x+4=65-(x^2-65)$$

$$x^2+4x+4=130-x^2$$

$$2x^2+4x-126=0$$

$$x^2+2x-63=0$$

$$D=2^2+4\cdot 63=256$$

$$x=\frac{-2\pm 16}{2}$$

Получаем $$x_1=7$$ или $$x_2=-9$$. Отрицательное значение не подходит, значит

$$AD=7\text{ см},\qquad AB=9\text{ см}.$$

Ответ

$$7\text{ см},\ 9\text{ см}.$$