Упр.58 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 58. Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см, а одна из сторон на 2 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Подробный ответ

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$AO=\frac12 AC=7,\qquad BO=DO=\frac12 BD=4.$$

Обозначим $$AD=x$$, тогда $$AB=x+2$$.

Рассмотрим треугольник $$AOD$$. По теореме косинусов:

$$ AD^2=AO^2+DO^2-2\cdot AO\cdot DO\cdot \cos\angle AOD $$

$$ x^2=7^2+4^2-2\cdot 7\cdot 4\cdot \cos\angle AOD $$

$$ x^2=65-56\cos\angle AOD. $$

Так как углы $$\angle AOD$$ и $$\angle BOA$$ смежные, то

$$\cos\angle BOA=-\cos\angle AOD=\frac{x^2-65}{56}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. По теореме косинусов:

$$ AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos\angle AOB $$