Упр.577 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Вентана-Граф: 577. Найдите длину хорды окружности радиуса R, концы которой разбивают эту окружность на две дуги, длины которых относятся как 2:1.

Подробный ответ

Пусть меньшая дуга, на которую хорда $$AB$$ делит окружность, составляет $$\frac{1}{3}$$ всей окружности, так как дуги относятся как $$2:1$$.

Тогда градусная мера этой дуги равна

$$\frac{1}{3}\cdot 360^\circ=120^\circ.$$

Следовательно, центральный угол $$\angle AOB=120^\circ$$, где $$O$$ — центр окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB=R$$, то по теореме косинусов

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\angle AOB $$

$$ AB^2=R^2+R^2-2R\cdot R\cos 120^\circ. $$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$$, получаем

$$ AB^2=2R^2-2R^2\left(-\frac{1}{2}\right)=2R^2+R^2=3R^2. $$

Значит,

$$AB=R\sqrt{3}.$$